Відсотки і пропорції — теорія і завдання НМТ

Головне

• 1 % $= 0,01 = \frac{1}{100}$. Щоб знайти $p$ % від числа $a: a \cdot \frac{p}{100}$. Щоб знайти число за його відсотком: частина : $(\frac{p}{100})$. Яку частину становить $b$ від $a: \frac{b}{a} \cdot 100$ %.
• Збільшити на $p$ % — помножити на $(1 + \frac{p}{100})$; зменшити на $p$ % — на $(1 - \frac{p}{100})$. Два відсоткові зміни не додаються: $+25$ % і потім −20 % повертають до початкової ціни $(1,25 \cdot 0,8 = 1)$.
• Прості відсотки: нараховуються на початкову суму: $S = S_0(1 + n \cdot \frac{p}{100})$. Складні: на нову суму щороку: $S = S_0(1 + \frac{p}{100})^n$.
• Пропорція $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основна властивість: $a \cdot d = b \cdot c$. Невідомий крайній член $=$ добуток середніх : відомий крайній.
• Відношення 3 : 4 означає частини $3k$ і $4k$; разом $7k$, тому сума має ділитися на 7.
• Масштаб 1 : 200 000 — 1 см на карті $= 200 000$ см $= 2$ км на місцевості.

Приклад 1. Число за відсотком

Число збільшили на 20 % і отримали 72. Яке число?

$1,2x = 72, x = 60$. Не можна зменшувати 72 на 20 %: 20 % від 60 і 20 % від 72 — різні числа.

Приклад 2. Знижка

Товар коштував 1200 грн, став коштувати 1020 грн. Знижка у відсотках?

Знижка 180 грн; $\frac{180}{1200} = 0,15$, тобто 15 %. Ділимо на початкову ціну.

Приклад 3. Сплав

Мідь і цинк у відношенні 7 : 3, маса сплаву 250 г. Міді $250 \cdot \frac{7}{10} = 175$ г.

Типові помилки

• Додавати відсотки послідовних змін (+25 % − 20 % $\ne +5$ %).
• Ділити знижку на нову ціну замість початкової.
• Плутати крайні й середні члени пропорції.
• Помилятися в переведенні одиниць у задачах на масштаб (1 км $= 100 000$ см).