Головне
- Сума кутів $180^\circ$. Зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх, не суміжних з ним. У прямокутному трикутнику гострі кути в сумі дають $90^\circ$; у рівнобедреному кути при основі рівні.
- Нерівність трикутника: кожна сторона менша за суму двох інших. Проти більшого кута лежить більша сторона.
- Теорема Піфагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Обернена: якщо $a^2 + b^2 = c^2$, трикутник прямокутний (3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13).
- Площа: $S = \frac{ah}{2}; S = ab\cdot \frac{\sin\gamma}{2}$; для прямокутного — півдобуток катетів; формула Герона $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.
- Медіана ділить сторону навпіл і ділить трикутник на два рівновеликі; бісектриса ділить кут навпіл; висота перпендикулярна до сторони. Медіани перетинаються в одній точці і діляться нею 2 : 1 від вершини.
- Подібність: кути рівні, сторони пропорційні з коефіцієнтом $k$; периметри відносяться як $k$, площі — як $k^2$.
- Теорема синусів $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = 2R$; теорема косинусів $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot \cos\gamma$.
- Центр описаного кола: у гострокутному — всередині, у прямокутному — середина гіпотенузи, у тупокутному — зовні.
Приклад 1
Драбина спирається на стіну, зовнішній кут при верхній точці $162^\circ$. Внутрішній кут $18^\circ$, другий гострий кут $90^\circ - 18^\circ = 72^\circ$.
Приклад 2
Кути відносяться як $1 : 2 : 3 \to \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$, найбільший $90^\circ$.
Приклад 3
Подібні трикутники з $k = 3$, периметр меншого $7 \to$ більшого 21 (площа була б у 9 разів більша).
Типові помилки
- Додавати катети замість квадратів $(6 + 8 \ne 10)$.
- Приписувати медіані властивість бісектриси.
- Множити периметр на $k^2$ (так змінюється площа).
- Для суми двох кутів прямокутного трикутника $115^\circ$ забувати, що один з них $90^\circ$.