Системи рівнянь і нерівностей — теорія і завдання НМТ

Теорія: Системи рівнянь і нерівностей

Розв’язок системи двох рівнянь з двома змінними — пара $(x; y)$, яка задовольняє обидва рівняння. Записуйте в порядку $(x; y)$.
Спосіб додавання: додайте або відніміть рівняння так, щоб одна змінна зникла. $x + y = 7, x - y = 3 \to 2x = 10 \to x = 5, y = 2$.

…

🔒 Повний конспект відкривається з Pro.

У тарифі Free — 3 базові конспекти з кожного предмета.

Завдання НМТ з поясненнями

3 безкоштовні завдання з теми. Обери відповідь — одразу побачиш, чи правильно, і пояснення. Без реєстрації доступно 10 перевірок на день; у акаунті прогрес зберігається.

1Офіційне завдання · УЦОЯО, демоваріант НМТ-2026, №13

Розв’яжіть систему нерівностей: $x^2 + 4 \ge 0$, $2(3x - 5) - 6 < x + 8$.

Перша нерівність $x^2 + 4 \ge 0$ виконується для всіх $x$, бо $x^2 \ge 0$. Друга: $6x - 10 - 6 < x + 8, 5x < 24, x < 4,8$. Перетин — $(-\infty ; 4,8)$. Типова помилка — «розв’язувати» $x^2 + 4 \ge 0$ як $x^2 \ge 4$ і отримувати зайве обмеження $|x| \ge 2$.

2Офіційне завдання · УЦОЯО, демоваріант НМТ-2024, №11

Розв’яжіть систему рівнянь: $x + y = 5, 4^x = 16^{-1}$. Якщо $(x_0; y_0)$ – розв’язок цієї системи, то $x_0 \cdot y_0 =$

$16^{-1} = \frac{1}{16} = 4^{-2}$, тому $x_0 = -2$, а з першого рівняння $y_0 = 5 - (-2) = 7$. Добуток: $-2 \cdot 7 = -14$. Типова помилка — записати $16^{-1}$ як $4^2$ і отримати $x = 2, y = 3$, добуток 6.

3Офіційне завдання · УЦОЯО, демоваріант НМТ-2023, №11

Розв’яжіть систему нерівностей: $(\frac{1}{3})^x < 81, |x| \le 5$.

$81 = (\frac{1}{3})^{-4}$, а функція $(\frac{1}{3})^x$ спадна, тому $(\frac{1}{3})^x < (\frac{1}{3})^{-4}$ означає $x > -4$. Друга нерівність дає $-5 \le x \le 5$. Перетин: (−4; 5]. Типова помилка — не змінити знак нерівності для основи, меншої за 1, й отримати $x < -4$.

Усі завдання з теми у практиці →

Зберігай прогрес безкоштовно

Акаунт Free: прогрес із кожної теми, слабкі теми за твоїми відповідями і план підготовки до НМТ 2027.

Зареєструватися безкоштовно