Предмети › Математика › Функції

Первісна та інтеграл. Площа криволінійної трапеції — теорія і завдання НМТ

📐 Математика · 5 безкоштовних завдань і ще 5 з Pro у базі RevisionNMT. У офіційних демоваріантах НМТ (2023, 2024, 2026) — 2 завдання з цієї теми із 66 у 3 варіантах.

✏️ Практика з теми📝 Конспект

Теорія: Первісна та інтеграл. Площа криволінійної трапеції

  • $F(x)$ — первісна для $f(x)$, якщо $F'(x) = f(x)$. Усі первісні відрізняються сталою: $F(x) + C$.
  • Таблиця первісних: для $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n + 1}$; для $1 \to x$; для $\frac{1}{x} \to \ln |x|$; для $e^x \to e^x$; для $\sin x \to -\cos x$; для $\cos x \to \sin x$; для $\frac{1}{\cos^2x} \to \tg x$.

…

🔒 Повний конспект відкривається з Pro.
У тарифі Free — 3 базові конспекти з кожного предмета.
Відкрити з Pro →

Читати повний конспект →

Завдання НМТ з поясненнями

3 безкоштовні завдання з теми. Обери відповідь — одразу побачиш, чи правильно, і пояснення. Без реєстрації доступно 10 перевірок на день; у акаунті прогрес зберігається.

1Авторське завдання RevisionNMT

Укажіть загальний вигляд первісних для функції $f(x) = 2x$.

$(x^2)' = 2x$, тому первісні мають вигляд $x^2 + C$, де $C$ — довільна стала. Типова помилка — знайти похідну (2) замість первісної або забути сталу $C$.
2Авторське завдання RevisionNMT

Обчисліть $\int_1^3 2\,dx$.

Первісна сталої 2 — це $2x; 2x|_1^3 = 6 - 2 = 4$. Геометрично це площа прямокутника $2 \times 2$. Типова помилка — відповісти 6, забувши відняти значення в нижній межі.
3Офіційне завдання · УЦОЯО, демоваріант НМТ-2026, №12

Позначте формулу для визначення площі $S$ фігури, обмеженої графіками функцій $y = 2^x, y = 2$ та прямою $x = 0$ (див. рисунок).

Рисунок до завдання 3
Фігура лежить між прямою $y = 2$ (зверху) і графіком $y = 2^x$ (знизу) від $x = 0$ до точки їх перетину: $2^x = 2$ при $x = 1$. Площа — інтеграл від різниці «верхня функція мінус нижня»: $S = \int_0^1 (2 - 2^x)\,dx$. Типові помилки — переплутати порядок віднімання (отримати від’ємну площу) або взяти верхню межу 2 замість 1.

Усі завдання з теми у практиці →

Зберігай прогрес безкоштовно

Акаунт Free: прогрес із кожної теми, слабкі теми за твоїми відповідями і план підготовки до НМТ 2027.

Зареєструватися безкоштовно