Лінійні рівняння і нерівності — теорія і завдання НМТ

Головне

• Лінійне рівняння $ax + b = 0$ при $a \ne 0$ має один корінь $x = -\frac{b}{a}$. Якщо $a = 0$ і $b = 0$ — безліч коренів; $a = 0, b \ne 0$ — коренів немає.
• Алгоритм: розкрити дужки $\to$ зібрати доданки з $x$ ліворуч, числа праворуч (при перенесенні знак змінюється) $\to$ поділити на коефіцієнт при $x$.
• Рівняння з дробами: помножте кожен доданок на спільний знаменник: $\frac{x - 4}{3} = 2 \to x - 4 = 6 \to x = 10$.
• Лінійна нерівність розв’язується так само, але при множенні або діленні на від’ємне число знак нерівності змінюється: $-2x > 6 \to x < -3$.
• Відповідь нерівності — проміжок: строга нерівність $(<, >)$ — кругла дужка, нестрога $(\le , \ge )$ — квадратна. $x \le 3 \to$ (−∞; 3].
• Цілі розв’язки нерівності $-2 \le x < 3: -2, -1, 0, 1, 2$ (3 не входить).

Приклад 1

$3x - 7 = 2x + 5 \to 3x - 2x = 5 + 7 \to x = 12$.

Приклад 2

$3(x + 1) \le x + 9 \to 3x + 3 \le x + 9 \to 2x \le 6 \to x \le 3$. Відповідь (−∞; 3].

Приклад 3

Найбільший цілий розв’язок $2x + 5 < 14: x < 4,5$, отже 4 (5 не підходить).

Типові помилки

• Не змінювати знак при перенесенні доданків.
• Не змінювати знак нерівності при діленні на від’ємне число.
• Множити на знаменник лише частину рівняння.
• Плутати тип дужки: при «$\le$» межа входить.