Площі поверхонь і об’єми тіл — теорія і завдання НМТ

Теорія: Площі поверхонь і об’єми тіл

тіло	об’єм	поверхня
куб (ребро a)	$a^3$	$6a^2$
паралелепіпед $a\times b\times c$	$abc$	$2(ab + bc + ac)$
призма	$S_{\text{осн}} \cdot H$	$S_{\text{біч}} = P_{\text{осн}} \cdot H$
піраміда	$S_{\text{осн}} \cdot \frac{H}{3}$	$S_{\text{біч}} = P_{\text{осн}} \cdot$ апофема / 2
циліндр	$\pi R^2H$	$S_{\text{біч}} = 2\pi RH$

…

🔒 Повний конспект відкривається з Pro.

У тарифі Free — 3 базові конспекти з кожного предмета.

Відкрити з Pro →

Читати повний конспект →

Завдання НМТ з поясненнями

3 безкоштовні завдання з теми. Обери відповідь — одразу побачиш, чи правильно, і пояснення. Без реєстрації доступно 10 перевірок на день; у акаунті прогрес зберігається.

1Авторське завдання RevisionNMT

Знайдіть об’єм кулі радіуса 3 см.

$V = (\frac{4}{3})\pi R^3 = (\frac{4}{3}) \cdot \pi \cdot 27 = 36\pi$ см³. Типова помилка — сплутати з площею сфери $4\pi R^2 = 36\pi$ (тут числа збігаються, але формули різні) або взяти $R^2$ замість $R^3$.

2Авторське завдання RevisionNMT

Знайдіть об’єм куба з ребром 3 см.

$V = a^3 = 3^3 = 27$ см³. Типова помилка — обчислити $3^2 = 9$ або площу поверхні $6 \cdot 9 = 54$.

3Офіційне завдання · УЦОЯО, демоваріант НМТ-2026, №21

Основою прямої призми є ромб із гострим кутом $60^\circ$. Площа більшого діагонального перерізу призми дорівнює $240\sqrt{3}$. Обчисліть об’єм призми, якщо її висота дорівнює $8\sqrt{3}$.

Запишіть відповідь числом.

Більша діагональ ромба зі стороною $a$ і кутом $60^\circ$ дорівнює $a\sqrt{3}$, тому площа більшого діагонального перерізу $a\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 24a = 240\sqrt{3}$, звідки $a = 10\sqrt{3}$. Площа ромба $S = a^2 \sin 60^\circ = 300 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3}$, об’єм $V = S \cdot H = 150\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 3600$. Типова помилка — взяти меншу діагональ (вона дорівнює стороні a) замість більшої.

Усі завдання з теми у практиці →

Зберігай прогрес безкоштовно

Акаунт Free: прогрес із кожної теми, слабкі теми за твоїми відповідями і план підготовки до НМТ 2027.

Зареєструватися безкоштовно